منظم پذیری آرنزی نگاشت های دوخطی کراندار و الحاق دوم یک اشتقاق

?نگاشت دوخط و کراندار روی فضاهای نرمدار در نظر ب یرید. آرنز 1 در? ?نگاشت ? f : x × y ?? y?را ی? ?سال 1?91 در ]?[ دو توسیع متفاوت ??? ? f?و ? f t???t?از ? f?را معرف کرد و حالت را که در آن این دو توسیع با? ?هم برابرند منظم آرنزی نگاشت دوخط ? f?نامید. در حالت خاص اگر ? ??نگاشت ضربی روی جبر باناخ ? a?باشد? ?آنگاه این دو توسیع دو ضرب متفاوت به نام ضرب اول و ضرب دوم آرنز روی فضای دوگان دوم ? a?یعن ???a?? ?تعریف م کند که ??? a?به همراه هر کدام از این ضربها تبدیل به ی? ?جبر باناخ م شود. جبر باناخ ? a?را منظم? ?آرنزی گوئیم هرگاه نگاشت ضربی ? ??منظم آرنزی باشد. بهعبارت دی ر ? a?منظم آرنزی است اگر دو ضرب روی? ???? a?بر هم منطبق باشد.? ?جبر باناخ ? a?میانگینپذیر ضعیف است اگر هر اشتقاق پیوسته ?? d : a ?? a?درون باشد. اگر ? a?میانگینپذیر? ?ضعیف باشد آنگاه ??? a?میانگینپذیر ضعیف است اما سوال اینجاست که ”آیا عکس این مطلب هم برقرار? ?مسئلهی باز مطرح است. برای پاسخ دادن به این سوال? ?است؟” بیش از سه دهه است که این سوال بهعنوان ی? ?لازم است اشتقاقها روی فضای دوگان دوم ? a?یعن ??? a?را بشناسیم.? ??- a?دومدول باناخ ? ،x?نگاشت کراندار ??? ? d?? : a?? ?? x?به عنوان دومین الحاق اشتقاق? ?برای ی? ?توسیع خط از ? d?است. مسئلهی حائز اهمیت این است که آیا ???d?? ?کراندار ? ? d : a ?? x?بهوضوح ی? ?اشتقاق است و اینکه تحت چه شرایط این مهم رخ خواهد داد. برای پاسخ به این سوال تحقیقات? ?نیز ی? ?وسیع توسط ریاض دانان مختلف انجام شده است که در نهایت منجر به نتایج قابل توجه گشته است. از? ?2? ?و همکارانش بهدست آمد. آنها این موضوع را در ]31[ برای حالت خاص? ?جملهی این نتایج توسط دیلز? ?? x = a?بررس کرده و نشان دادند در صورت منظم بودن جبر باناخ ? d?? : a?? ?? a??? ،a?ی? ?اشتقاق? ?است اگر و تنها اگر ?? .d?? (a?? ).a?? ? a?ما در اینجا نتایج آنها را برای حالت کل ? ? d : a ?? x?با? ?ارائهی برهان مستقیم بهصورت زیر گسترش م دهیم? ??- a?دومدول باناخ و ? ? d : a ?? x?ی? ?اشتقاق باشد آنگاه? ?جبر باناخ، ) ? (?? , x, ?r?ی? ?اگر ? a?ی? ?1? ??arens?? ?2? ??dals?? ?1? ?اشتقاق است اگر و تنها اگر ??.?r (d?? (a?? ), x ?? ) ? a?? ?)1( ??? ? d?? : (a?? , ?) ?? x?ی? ?????? ?اشتقاق است اگر و تنها اگر ??t???? (d ?? (a?? ), x ?? ) ? a?? ?)2( ??? ? d?? : (a?? , ?) ?? x?ی? ??.???? ?اما برای رسیدن به این مقصود باید ابتدا خاصیت منظم آرنزی نگاشتهای دوخط را بشناسیم. در این پایاننامه? ?به مطالعه منظم پذیری نگاشتهای دوخط پرداخته و ملاکهایی را برای منظمپذیری آنها فراهم م کنیم.? ?این پایاننامه شامل ? فصل است. در فصل اول که با عنوان پیشنیازها مطرح شده به بیان تعاریف و قضایایی? ?م پردازیم که در فصلهای بعد مورد نیازند.? ?فصل دوم با عنوان منظمپذیری آرنزی نگاشتهای دوخط کراندار قسمتهایی از مقالهی مشترک دکتر محمدزاده? ?است که در سال 8002 به چاپ رسیده است. در این فصل درمورد نگاشتهای? ?و دکتر ابراهیم ویش? ?آنها? ?دوخط و کراندار، الحاقهای نگاشتهای دوخط و کراندار از مراتب بالاتر و همچنین مراکز توپولوژی? ?صحبت م کنیم و در انتهای فصل قضیههایی را ارائه م دهیم که تحت آنها نگاشتهای دوخط و کراندار? ?از قضیههای مهم و کاربردی این فصل ثابت م کنیم منظمپذیری آرنزی ? f?با? ?منظم آرنزی م شوند. در ی? ?) ??? f ???? (z ? , x ?? ) ? y ? ،f ???? (z ??? , x?? ) = f t?????t (z ??? , x?و فشردگ ضعیف نگاشت خط و? ?کراندار )? x ?? y ? : x ?? f ? (z ? , x?برای هر ? ? ،z ? ? z?معادل است.? ?فصل سوم با عنوان منظمپذیری آرنزی عملهای مدول بر اساس مقاله مشترک دکتر اسحاق گرج و دکتر فیلال? ?و مقالهی دکتر اسحاق گرج که بهترتیب? ?و همچنین مقالهی مشترک دکتر محمدزاده و دکتر ابراهیم ویش? ?در سالهای 8002 ،7002 و 9002 به چاپ رسیدند تنظیم شده است. در این فصل به مطالعهی منظمپذیری? ?آرنزی عملهای مدول جبر باناخ ? a?روی ?- a?دومدول باناخ ? x?پرداخته و ارتباط منظمپذیری آرنزی ? a?را با? ?بعض از تجزیههای عملهای مدول بررس م کنیم. همچنین در قسمتهایی از این فصل به بررس ارتباط بین? ?منظم آرنزی و نامنظم قوی آرنزی عملهای مدول چپ ? a?روی )? a(n?با منظم آرنزی و نامنظم قوی آرنزی? ?? a?م پردازیم و در حالت خاص نشان م دهیم نه تنها )? l1 (g?بهطور قوی نامنظم آرنزی است بل ه برای هر? ?? l1 (g)(n) ، n ? n?بهطور قوی نامنظم چپ آرنزی است. در نهایت این فصل را با بررس مراکز توپولوژی? ?قضیهی مهم این فصل را عنوان م کنیم که بعد? ?توسیعهای مدول جبرهای باناخ به پایان م رسانیم. در ادامه ی? ?از تغییرات پیدرپی بهدست آمده است. در ابتدا آری ان 3 در ]?[ ثابت کرد که جبر باناخ ی دار ? a?انعکاس است? ?اگر و تنها اگر هر عمل مدول چپ ? a?منظم آرنزی باشد. اول ر ? این قضیه را به این صورت در ]72[ توسیع داد? ?که جبر باناخ ی دار ? a?انعکاس است اگر و تنها اگر عمل مدول چپ ? a?روی ?? a?منظم آرنزی باشد. دیلز و? ?همکارانش ? در ]31[ نتیجهی مشابه را در حالت که ? a?فقط همان تقریبی چپ کراندار دارد متذکر شدند اما با? ?این فرض که ? a?منظم آرنزی باشد. سپس اسحاق گرج و فیلال ? در ]71[ این قضیه را با حذف فرض منظم? ?3? ??arikan?? ??? ??ulger?? ??? ??dales, rodrigues-palacios and velasco?? ??? ??filali?? ?2? ?اثبات کوتاه و ساده گسترش دادند. در نهایت دکتر محمدزاده و دکتر ابراهیم ویش? ?آرنزی ? a?و با ارائهی ی? ?این قضیه را برای حالت کل تعمیم داده و با ارائهی اثبات به مراتب سادهتر به قضیهی زیر رسیدند.? ?فرض کنید )? (?? , x?و ) ? (x, ?r?به ترتیب ?- a?مدول باناخ چپ و راست باشند. در این صورت? ?)1( اگر ? a?همان تقریبی چپ کراندار برای ? x?داشته باشد آنگاه ? x?انعکاس است اگر و تنها اگر ? ???منظم? ???t?? ?باشد.? ??? ?)2( اگر ? a?همان تقریبی راست کراندار برای ? x?داشته باشد آنگاه ? x?انعکاس است اگر و تنها اگر ? ?r?منظم? ?باشد.? ?است که در فصلهای دی ر نیز? ?فصل آخر هم برگرفته از مقالهی مشترک دکتر محمدزاده و دکتر ابراهیم ویش? ?از آن استفاده م کنیم. این فصل قسمت اصل پایاننامه است که در آن همانطور که قبلا هم گفتیم شرایط را? ?اشتقاق شود.? ?اشتقاق دلخواه، خود ی? ?فراهم م کنیم که الحاق دوم ی?